2013浙江事业单位考试行测备考三
第三章数量关系—数学运算
两个整数a、b，如果a÷b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除(或者说b能整除a)，称a是b的倍数(或者说b是a的约数)。
一、数的整除判定及性质
要判断一个数是否能被其他数整除，根据除数的不同，可通过查看被除数的末位数、数字和或数字差等方式来确定。
(一)看被除数末几位数
(1)只看被除数的个位，判断一个数能否被2、5整除时只看其个位数即可。
(2)看被除数末两位，判断一个数能否被4、25整除时看其末两位数即可。
(3)看被除数末三位，判断一个数能否被8整除时，看其末三位数即可。
(二)看被除数的各位数字和
①如果数a能被b整除，数b能被C整除，则a能被c整除。
②如果数a能被c整除，数b能被c整除，则a+b、a-b均能被C整除。
③如果数a能被c整除，m为任意整数，则a+m也能被c整除。
④如果数a能被b整除，同时能被c整除，且b和C互质．则数a能被b．c整除。
例如：72能被9整除，9能被3整除，则72能被3整除.
56能被8整除，16能被8整除，则56+16=
72、56—16=40均能被8整除。
39能被13整除．所以39×15也能被13
整除。
162自蜮。警除，也能被9整除(1+6+2：9)，
且2、9互质，所以162能被2x9=18整除。
二、完全平方数
如果一个数是另一个数的平方，那么我们称这个数为完全平方数，也叫做平方数。常见的完全平方数有0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400。
第二节最大公约数与最小公倍数
最大公约数：如果c是。的约数，c也是b的约数，那么我们称c是n和b的公约数。一般说来，两个数的公约数不止一个．我们把其中最大的一个公约数．称为这两个数的最大公约数。多个数之间的公约数和最大公约数也可以用类似方法定义。
互质：如果两个数最大公约数为1，则称这两个数互质。
最小公倍数：如果c是a的倍数，c也是b的倍数，那么我们称c是a和b的公倍数。两个数的公倍数有很多，我们把其中最小的一个公倍数，称为这两个数的最小公倍数。多个数之间的公倍数和最小公倍数也可以用类似的方法定义。
求最大公约数与最小公倍数主要有以下两种方法：分解质因数法、短除法。
一、分解质因数法
考生可采用分解质因数的方法求两个整数的最大公约数与最小公倍数，下面以两个数为例进行讲解．多个整数的情况可以类推。
分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数。
最大公约数是两个数所有公有质因数的乘积。24、60的公有质因数是2、2、3．所以24和60的最大公约数是2x2x3=12。
最小公倍数是两个数所有公有质因数和其各自独有质因数的乘积。24、60的公有质因数是2、2、3，24的独有质因数是2，60的独有质因数是5，所以24、60的最小公倍数是2×2×3×2×5=120。
二、短除法
短除符号就是除号倒过来，在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后写下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止。
所以24、36的最大公约数为2×2×3=12；(左侧3个数之积)
最小公倍数为2×2×3×2×3=72。(左侧3个数与下边2个数之积）
三个数的情况与两个数的情况有所区别，要仔细体会。以下分别举例说明求12、30、150的最大公
约数与最小公倍数．
第三节 奇偶性与质合性
在考试中．数的奇偶性与质合性都是在具体情境中结合其他知识要点一起考查的，很少作为独立的知识点来考核。
奇数：不能被2整除的整数；
偶数：能被2整除的整数，零也是偶数。奇偶性主要指以下这些性质：
①奇数+奇数=偶数，奇数-奇数=偶数②偶数十偶数=偶数，偶数-偶数=偶数③奇数+偶数=奇数，奇数--偶数=奇数④奇数×偶数=偶数
⑤奇数×奇数=奇数⑥偶数×偶数=偶数总之：加法／减法——同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇；
乘法——乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇。质数：只能被l和其本身整除的数。
17只能被1和17整除，则17是质数。
合数：除了1和其本身，还可以被其他整数整除的数。
6除了能被1和6整除以外，还能被2和3整除，则6是合数。质合性需要注意以下几点：
①1既不是质数也不是合数，2是唯一的一个偶质数；②20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。
【例题1】一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下,他答错了多少道题?
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：此题答案为A。小明的得分=2×答对题数一答错题数，因为2×答对题数肯定为偶数，得分为奇数．所以答错的题数为奇数，排除B、D。
假如答错3道题，则答对(23+3)÷2=13道题，未答的题是20-3-13=4道，符合条件，选择A。
假如答错5道题。则答对(23+5)÷2=14道题，未答的题是20-5-14=1道，与题干未答的题的数目是偶数矛盾，排除C。
【例题2】a,b、c都是质数，c是一位数，且axb+c=1993，那么a+b+c的值是多少?
A．171
B．183
C．184
D．194
解析：此题答案为D。a×b+c=1993，1993为奇数，则a×b为奇数、c为偶数或a×b为偶数、c为奇数。
(1)a×b为奇数、c为偶数
由a、b,C都是质数，可知c=2，a×b=1991=11×181，a+b+c=2+11+181=194，选择D。(2)a×b为偶数、c为奇数
axb为偶数．则a、b中至少有一个偶数，由a、b、c都是质数，可知a．b中有一个为2，不妨设b=2，c是一位数．则。的值应该在900以上，与选项完全不符。
综上所述．叶a+b+c的值为194。
第四节同余与剩余
一、余数
在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。被除数(b)÷除数(b)=商(c)……余数(d)，其中a、c均为整数，b、d为自然数。
其中。余数总是小于除数．即0≤d
二、同余
同余：两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a、b对于m同余。例：23除以5的余数是3，18除以5的余数也是3，则称23与18对于5同余。同余的性质：对于同一个除数m，两个数和的余数与余数的和同余，两个数差的余数与余数的差
同余，两个数积的余数与余数的积同余。
例：l5除以7余数是1．18除以7余数是4
15+18=33，则33除以7的余数与1+4：5除以7的余数相同18-15=3，则3除以7的余数与4-1=3除以7的余数相同15×18=270，则270除以7的余数与1x4=4除以7的余数相同
三、剩余问题
剩余问题主要有以下三种情况：
①一个数除以4余2、除以5余2、除以6余2，这个数可表示为……：
②一个数除以4余3、除以5余2、除以6余1，这个数可表示为……：
③一个数除以4余1、除以5余2、除以6余3，这个数可表示为……：
对于上述三种问题，解题思路是先找出一个满足条件的数，再加上几个除数的最小公倍数的12、3、…、n倍，即为所求。
①中，余数相同，2满足条件，加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为60n+2：
②中，4+3=5+2=6+1=7，余数与除数之和相同，即和同。7满足条件，加上4、5、6的最小公倍数．也满足条件，所以该数表示为60n+7：
③中，1-4=2-5=3-6=-3，余数与除数之差相同，即差同。-3满足条件，在此基础上加上4、5、6的是小公倍数，也满足条件，所以该数表示为60n-3。
所以有：余同加余，和同加和，差同减差。最小公倍数做周期。
【例题1】16×41×164除以7的余数为( )。
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：此题答案为A。因为16+7=2……2，41+7=5……6，164+7：23……3．所以16×41×164除以7的余数与2×6×3除以7的余数相同。2×6×3÷7=36÷7,余数为1。
【例题21[事业单位考试真题)有一堆梨，两个两个拿最后剩一个，三个三个拿最后剩两个．四个四个拿最后又多三个，问这堆梨至少有多少个?
A．10
B．11
C．12
D．13
解析：此题答案为B。“差同减差”。由题意可知，梨的个数加1就能被2、3、4整除．则它的最小值就是2、3、4的最小公倍数减1。即12-1=11。
【例题3】一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有( )。A．5个B．6个C．7个D．8个
解析：此题答案为A。“除以5余2，除以4余3”，除数和余数相加(5+2和4+3)都为7，即和同加和．以最小公倍数周期。则表示为4x5n+7=20n+7，所以这个数除以20余7。再看另一条件“除9余7”。可见余数相同．再由“余同加余，最小公倍数为周期”可得20×9n+7=180n+7。凡为自然数，要使7+180n为三位数，则n=1、2、3、4、5，满足条件的三位数有5个。
点拨
本题较为简单，可直接看后两个条件，很容易看出7是满足条件的最小的自然数，而7正好也满足第一个条件。4、5、9的最小公倍数为180，因此满足条件的三位数形式为7+180n。
第五节尾数法
尾数是一个数的个位数字，也就是该数除以10的余数．尾数法本质上是利用同余的性质：两个数的尾数之和等于和的尾数，两个数的尾数之差等于差的尾数，两个数的尾数之积等于积的尾数。
一、尾数法
尾数法是指在不直接计算算式各项值的情况下。只计算结果的尾数，以在选项中确定答案的方法。一般四个选项中数的尾数各不相同时，可优先考虑尾数法。算式中如果出现了除法，尽量不要使用尾数法。
二、自然数的n次方的尾数变化规律
尾数法通常与自然数的n次方结合使用．一个自然数n次方尾数等于它尾数n次方的尾数，因此我们只需要考虑0～9的n次方尾数变化规律即可。
0～9的以次方尾数变化规律：
0、1、5、6的n次方尾数始终是其本身
2n的尾数以“2、4、8、6”循环变化，循环周期为4
3n的尾数以“3、9、7、1”循环变化，循环周期为4
4n的尾数以“4、6”循环变化，循环周期为2
7n的尾数以“7、9、3、1”循环变化，循环周期为4
8n的尾数以“8、4、2、6”循环变化，循环周期为4
9n的尾数以“9、1”循环变化。循环周期为2
因此判断n次方的尾数时，用n÷4，余数为a，则n次方的尾数与a次方的尾数相同(余数为0时，与4次方的尾数相同)。例如721,21+4，余数为1，则721的尾数与71的尾数相同，为7。
【例题1】72010+82012的个位数是几?
A．3
B．5
C．7
D．9
解析：此题答案为B。7的n次方尾数变化为7、9、3、1，变化周期为4，2010除以4余2，所以72010的尾数是9：8的n次方尾数变化为8、4、2、6，变化周期为4，2012能被4整除，所以82012的尾数是6。9+6=15．尾数为5．选B。
【例题2】2362+768-1482的值为( )。
A．33462
B．33568
C．34560
D．34664
解析：此题答案为C。直接计算，计算量较大。由于选项中各项尾数均不相同。可以采用尾数法。2362的尾数为6，1482的尾数为4，6+8－4=10，所以结果的尾数为0。选择C。
【例题3】8，88，888，8888，……，如果把前88个数相加，那么它们的和的末三位数是多少?
A．574
B．484
C．464
D．454
解析：此题答案为C。题目中问末三位数是多少，并且发现各个选项的末两位都不同．只要运用尾数法对末两位进行运算即可。8+88x87=7664，末两位数为64．所以选C。
点拨
每个数都是8的倍数，则所有数字的和能被8整除,则它们的和的末三位数能被8整除。选
项中只有464满足，答案为C。
第六节代入排除法
定义：代入排除法是指从选项人手，代入某个选项后，如果不符合已知条件。或者推出矛盾．则可排除此选项的方法。数学运算部分全部都是选择题。而代入排除法是应对选择题的有效方法。
适用范围：代入排除法广泛运用于多位数问题、不定方程问题、剩余问题、年龄问题、复杂行程问题、和差倍比问题等。
代入排除法包括直接代入排除与选择性代入排除两类。
一、直接代入排除
直接代入，就是把选项一个一个代入验证．直至得到符合题意的选项为止。代入四个选项时首先要看题干的要求，再分以下两种情况：
①如果题目是问最大或最小，求最大就从最大的项开始试，求最小就从最小的项开始试。
②如果题目只问哪个选项满足题意，可从数值居中的选项开始代入尝试．如果满足条件就得出了答案；如果不满足，再根据代入项与正确答案的差距选择代入更大或更小的选项接着验证。
二、选择性代入排除
选择性代入，是根据数的特性(奇偶性、整除特性、尾数特性、余数特性等)先筛选，再代入排除的方法。
【例题1】一个小于80的自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这个自然数最大是多少?
A．32
B．47
C．57
D．72
解析：此题答案为C。此题可以采用直接代入法来得到答案。题目要求满足条件的最大的数．可从选项中最大的数字开始代入。
代入D项，72-3=69，不是6的倍数，不符合，排除；
代入C项，57+3=60，是5的倍数；57—3=54，是6的倍数．符合条件。
点拨
本题也可利用前一节的数的整除特性考虑，与3的差是6的倍数，说明该数是能被3整除的奇数，直接锁定C项。
【例题2】1999年，一个青年说：“今年我的生日已过了，我现在的年龄正好是我出生的年份的四个数之和。”这个青年是哪年出生的?
A．1975
B．1976
C．1977
D．1978
解析：此题答案为B。本题是典型的多位数问题，可直接代入排除。代入A项，青年1975年出生．则1999年24岁，1+9+7+5=22，不符合，排除；代入B项，青年1976年出生，则1999年23岁．1+9+7+6=23．符合条件。
【例题3】(事业单位考试宾题)某商品编号是一个三位数，现有五个三位数：126、918、574、320、694，其中每一个数与商品编号恰好都有一个数字在同一个数位上。这个商品编号是( )。
A．162
B．9．24
C．530
D．328．
解析：此题答案为B。本题可直接采用排除法。A项．题干中给出的五个三位数中的个位数均不是2，不符合题意，排除A；C项，题干中给出的五个三位数中的十位数字均不是3，不符合题意。排除C：D项，题干要求每一个数与商品编号恰好都有一个数字在同一个数位上，在给出的五个三位数中．320与D项328有两个数字相同，不符合题意，排除D。故选择B。
【例题4】两个数的差是2345，两数相除的商是8，这两个数之和为( )。
A．2353
B．2896
C．3015
D．3456
第八节方程法
定义：方程法是指将题目中未知的数用变量(如x，y)表示，根据题目中所含的等量关系，列出含有未知数的等式(组)，通过求解未知数的数值，来解应用题的方法。因其为正向思维，思路简单，故不需要复杂的分析过程。
适用范围：方程法应用较为广泛，数学运算绝大部分题目，如行程问题、工程问题、盈亏问题、和差倍比问题、浓度问题、利润问题、年龄问题等均可以通过方程法来求解。主要步骤：设未知量—找等量关系—列方程(组)—解方程(组)
一、设未知数的技巧
方程法虽然思维比较简单。但是计算量较大，也比较费时。对此。考生可以通过优化未知数的设法来提高解题速度。设未知数的原则：①设的未知数要便于理解，方便列方程；②尽量减少未知数的个数，方便解方程。
具体而言，可以利用比例关系、取中间量等技巧优化未知数，达到便于列方程和解方程的目的。
(一)利用比例关系设未知数
可以有效避免分数的出现．大大减少计算量。(二)取中间量设未知数
当题干中有两个或更多个未知数时，可根据各未知数之间的关系，采用取中间量的方法，设一个或少数几个未知数来求解。这就减少了未知数的个数，在一定程度上大大减少了计算量。
(三)设而不求
当题中数量关系比较隐蔽，直接找出各个量之间的联系有困难．可考虑设辅助未知数，实现由未知向已知的转化。在解题过程中可以巧妙地将其消去，而并不需要求这些未知数。
【例题1】已知甲、乙两种产品原价之和为100元，因市场变化，甲产品8折促销，乙产品提价10%，调价后，甲、乙两种产品的标价之和比原标价之和提高了4%，则乙产品的原标价为多少元?
A．20
B．40
C．80
D．93
解析：此题答案为C。
设未知数：求的是乙产品的原标价，可设其为x元，则甲产品的原标价为(100-x)元。找等量关系：调价后两种产品的标价之和比原标价之和提高了4%。
列方程：0．8×(100-x)+(1+10%)x=100×(1+4%)。解方程：x=80。
点拨…
本题其实也可用代入排除法来解，甲产品8折促销，乙产品提价10%，最终结果导致二者总标价提高了4%，说明乙产品对总价格影响较大，即乙产品价格大于甲产品，然而甲、乙两产品价格之和为100，则乙产品原标价大于50，排除A、B项。代入C项。发现正好满足题意，因此选C。
二、解方程组的技巧解方程组主要采用消元的方法，将多元方程组转化为一元一次方程来解。一般来说，消元通常是“求什么保留什么”，即消元时，尽量保留题目要求的未知量。此外，还可以通过整体法、换元法来解方程，以提高解方程组的效率。
(一)整体法
整体法是指不单独考虑每个未知数的情况，将式子整体进行各种运算的方法，通常是进行整体加减。
(二)换元法
可根据题意，将复杂的未知数换元为简单的未知数，从而将不方便求解的方程组转化为简单的方程组。
【例题5】某年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是l34人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少l人，问这四个班共有多少人?
A．177
B．176
C．266
D．265
三、利用数的特性求解不定方程
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。
“在解决数学运算问题的过程中，经常会出现不定方程的求解。尤其是二元一次不定方程．其通用形式为ax+by=c，其中a,b、c为已知整数，x、y为所求自然数。在解这类方程时，我们需要利用整数的奇偶性、整除性等多种方法来得到答案。
【例题7】某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人．乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月共培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训?
A．8
B．10
C．12
D．15
【例题8】有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是( )。
A．1辆
B．3辆
C．2辆
D．4辆
第九节图解法
定义：图解法是指利用图形来解决数学运算的方法。数学运算的本质是通过寻找数与数之间的关系来解决实际问题．整个过程比较抽象。如果我们能够利用图形这种工具，将复杂的数字之间的关系用图形形象地表示出来,就能够更快更准地解决问题。
适用范围：一般说来，图解法适用于绝大部分题型，尤其是在行程问题、年龄问题、容斥问题等强调分析过程的题型中运用得很广。图解法简单直观，能够清楚表现出问题的过程变化，但是容易出错，在画图形的时候一定要保证图形和数字保持一一对应的关系。
一、线段图
线段图即是用线段来表示数字和数量关系的方法。
线段图在行程问题中非常有效。当运动过程非常复杂的时候，强烈推荐使用线段图，因为它能够帮助考生快速理清各物体的运动过程．从而找到物体速度或者路程之间的关系。
【例题1】甲从某地出发匀速前进，一段时间后，乙从同一地点以同样的速度同向前进，在K时刻乙距起点30米：他们继续前进，当乙走到甲在K时刻的位置时，甲离起点108米。此时乙离起点( )。
A．39米
B．69米
C．78米
D．138米
解析：此题答案为B。在解行程问题时，通常先画出线段图，这样可以直观清晰地看到状态变化的过程和各个量之间的关系．帮助我们准确求解。
二、表格
表格也是图形的一种．利用表格可以将多次操作问题和还原问题中的复杂过程一一表现出来。同时．我们也可以用表格来理清数量关系，帮助列方程。
【例题3】(事业单位考试真题)某单位有60人，他们在工作时着装白色或粉色上衣，黑色或蓝色裤子，其中有12人穿白上衣蓝裤子．有34人穿黑裤子，29人穿粉上衣，那么穿粉上衣黑裤子的有多少人?
A．15
B．16
C．17
D．18
解析：此题答案为A。常规思路：60名员工，其中34人穿黑裤子，则有60-34=26人穿蓝色裤子；12人穿白上衣蓝裤子，则有26—12=14人穿粉上衣蓝裤子；29人穿粉上衣，所以有29-14=15人穿粉上衣黑裤子。
思路比较清晰时。可以一步一步的计算，但是数量关系更多的话，比如涉及三种颜色的上衣和裤子时，用这种推理方式很容易出错，现在我们来看看使用表格如何操作。
首先，画出表格，横坐标为上衣的颜色，纵坐标为裤子的颜色。再将题目中已知条件填进表格里，然后用表格直接做加减法。
三、网状图／树状图
网状图或树状图一般用来解决过程或者数量关系比较复杂的题型。比如排列组合问题、推理问题或者时间安排类的对策分析问题。
【例题4】A、B、C、D、E五位同学进行象棋单循环比赛，已知A、B、C、D已经赛过的盘数依次为4、3、2、 1盘，此时，E赛了( )盘。
A．2
B．3
C．4
第十节分合法
定义：分合法是指利用分与合两种不同的思维解答数学运算的方法。分合法常用的两种思路为分类讨论和整体法。所谓“分”，就是将一个问题拆分成若干个小问题，然后从局部来考虑每个小问题；所谓“合”，就是把若干问题合在一起，从整体上思考这些问题。简而言之，“分”就是局部考虑，是拆分；“合”是整体考虑，是整合。二者最终的目的都是为了提高处理问题的效率。适用范围：分合法一般适用于排列组合与概率问题、解方程等。
一、分类讨论分类讨论，是指当不能对问题所给的对象进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准进行分类。逐类研究，最后将结论汇总得解的方法。分类讨论是数学中独有的一种思想，它与平时归纳总结的逻辑思维正好相反。利用分类讨论能将某些复杂的问题分解成若干个简单的问题，然后各个击破，使问题变得易于解决。
【例题1】编一本书的书页，用了270个数字(重复的也算，如页码115用了2个1和1个5，共3
个数字)，问这本书一共有多少页?
A．117
B．126
C．127
D．189
分类讨论与加法原理经常一起使用．一般是多种情况分类讨论以后，再利用加法原理求出总的情况数。我们在排列组合与概率问题中具体介绍。
二、整体法
整体法与分类讨论正好相反，它强调从整体上来把握变化，而不是拘泥于局部的处理。整体法有两种表现形式：
1．将某一部分看成一个整体，在问题中总是一起考虑，而不单独求解；
2．不关心局部关系，只关心问题的整体情况，直接根据整体情况来考虑关系。这种形式经常用于平均数问题。
【例题3】(事业单位考试真题)李明在休假期间观察了N天天气，情况如下：①下7天雨，在上午或下午；②当下午下雨时，上午是晴天；③一共有5个下午是晴天；④一共有6个上午是晴天。问N等于多少?
A．7
B．8
C．9
D．10
解析：此题答案为c。根据题干情况①已知下雨的天数，再求出不下雨的天数，就可以求出N的值。但如果直接将所有的天数看成整体，能够更快得到答案。
由情况②可知，下雨的时间都是半天，所以共有7+2=3．5天是全天下雨；由情况③④可知，共有(5+6)÷2=5．5个全天是晴天。故观察的总天数N=3．5+5．5=9天。
【例题4】商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所用费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克费用分别为4．4元、6元和6．6元。如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元?
A．4．8
B．5
C．5．3
D．5．5
解析：此题答案为D。本题从局部考虑很难考虑，又由于平均成本=总成本÷总千克数，因此我们需
要从整体上找到总成本和总千克数即可。
由于三种糖所花费用相等，为了所算千克数为整数，不妨设每种糖都买了66元，则总成本为66×3：198元。甲糖有66+4．4=15千克，乙糖有66+6=11千克，丙糖有66+6．6=10千克，因此总千克数为15+11+10=36千克。则这种什锦糖的平均成本为198+36=5．5元。
第十一节极端法
定义：极端法是指通过考虑问题的极端状态，探求解题方向或转化途径的一种常用方法。在数学运算中运用极端法的情况主要有分析极端状态和考虑极限图形与极限位置两种情况。
分析极限状态是指先分析并找出问题的极限状态．再与题干条件相比较．作出相应调整．得出所求问题的解。数学运算中的鸡兔同笼问题以及出现“至多”“至少”等字样的题．均可通过分析问题的极端状态来求解。
考虑极限图形主要是利用一些几何知识。例如．对于空间几何体，当表面积相同时。越趋近于球体的体积越大；同理，当体积相同时，越趋近于球体的表面积越小。
适用范围：极端法一般适用于鸡兔同笼问题、对策分析类问题等。
【例题1】(事业单位考试真题】足球比赛积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某足球队打了16场。负8场，共得16分，那么这个球队胜了几场?
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：此题答案为B。鸡兔同笼问题，采用极端法分析。依题意，胜和平共l6-8=8场。此时存在两个极限状态，(1)8场全胜；(2)8场全平。任选一个状态，再通过比较与实际的差别来求解。
假设8场全平，那么应得分数为8×1=8分，比实际分数少l6—8=8分。每胜一场就可多得3-1=2分，所以这个球队胜了8+2=4场。
【例题2】某单位有宿舍11间，可以住67人，已知每间小宿舍住5人，中宿舍住7人，大宿舍住8人，则小宿舍间数是( )。
A．6
B．9
C．8
D．7
解析：此题答案为A。如果设未知数，分析不定方程过程会比较繁琐，但如果采用极端考虑法，则容易得多。
假设全部为小宿舍．则可住5×11=55人，相差67-55=12人：
每增加一间中宿舍，可增加7-5=2个人，如果只剩下中宿舍，则中宿舍为12+2=6间．小宿舍为11-6=5间，大宿舍0间；
每增加一间大宿舍，可增加8-5=3个人，如果只剩下大宿舍。则大宿舍为12+3=4间．小宿舍为11-4=7间，中宿舍0间。
实际上，以上两种情况都是极端情况，根据题意可知，大中小宿舍都要有．于是小宿舍间数在5
【例题3】将一个表面积为36平方米的正方体平分为两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体，则大长方形的表面积是( )。
A．24平方米
B．30平方米
C．36平方米
D．42平方米
解析：此题答案为D。通过计算也可以求出表面积，也可以利用极限图形来考虑。由几何极限理论可知，体积相同的物体，越接近球体，其表面积越小。大苌方体与正方体相比较。正方体比较接近球体，所以正方体的表面积小于大长方体的表面积，所以答案应该大于36平方米，直接排除A、B、C，选择D。
【例题4】(事业单位考试真题)四年级一班选班长，每人投票从甲、乙、丙三个候选人中选一人，一班全班共有52人，并且在计票过程中的某一时刻，三人票数相等，甲最少再得多少张票就能保证当选?
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：此题答案为A。由题干条件可知，当三人票数相等破，求甲最少再得多少张票才能当选，则三人相等的票数应尽可能的大。因为52=3×17+1，所以甲最少再得1张票就能保证当选。
第十二节十字交叉法
定义：十字交叉法是利用“交叉十字”来求两个部分混合后平均量的一种简便方法。
适用范围：十字交叉法一般只用于两个部分相关的平均值问题，且运用的前提已知总体平均值r。应用要点：第一部分的平均值为a，第二部分的平均值为b(这里假设a>b)，混合后的平均值为r。
由上可知，总体平均值r介于两个部分的平均值a,b之间，十字交叉法的使用步骤如下：(1)找出各个部分平均值和总体平均值；(2)平均值间交叉作差，写出部分对应量或对应量的比：(3)利用比例关系解答。
一、已知平均值求对应量比例(或具体量A、B)
已知两个部分的平均值a、b，总体平均值r，求A、B之间的比例。这种情况下，往往还有衍生：求出A、B比例之后，再根据A、B总量，求出A、B的具体数量。
二、已知总体平均值和一部分平均值求另一部分平均值
已知其中一个部分的平均值。，总体平均值r，A、B之间的比例关系，求b。在这种情况中。A、B之间的比例关系有时并不直接给出，而是给出具体值。需要化简求出其比例关系。
第十四节归纳法
归纳法是从已知条件的简单情况入手，通过对特殊情况的总结，得出一个普遍适用规律的方法。这种方法适用于那些多次重复操作的问题。
需要注意的是，这种方法得出的结论只是猜测而没有经过合理证明，因此有时候得出的结论不一定是正确的，需要通过证明验证其正确性。
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